Triángulo de Pascal

Triángulo de Pascal

Antes de empezar a definir el triangulo de pascal debemos saber quien es su inventor;Blaise Pascal reúne varios resultados ya conocidos sobre el triángulo, y los emplea para resolver problemas ligados a la teoría de la probabilidad; demuestra 19 de sus propiedades, deducidas en parte de la definición combinatoria de los coeficientes. Algunas de estas propiedades eran ya conocidas y admitidas, pero sin demostración. Para demostrarlas, Pascal pone en práctica una versión acabada de inducción matemática. Demuestra la relación entre el triángulo y la fórmula del binomio.

El triángulo de Pascal es un triángulo de números enteros, infinito y simétrico Se empieza con un 1 en la primera fila, y en las filas siguientes se van colocando números de forma que cada uno de ellos sea la suma de los dos números que tiene encima. Se supone que los lugares fuera del triángulo contienen ceros, de forma que los bordes del triángulo están formados por unos.El interés del Triángulo de Pascal radica en su aplicación en álgebra y permite calcular de forma sencilla números lo que sirve para aplicar el binomio de Newton.


SUMA DE LOS NÚMEROS DEL TRIÁNGULO

 La suma de los números de cada fila es igual al doble de la anterior. Y además, son sucesivas potencias de 2 con exponente natural.

LAS POTENCIAS DE 11 

El número formado por las cifras que indican cada fila del Triángulo de Pascal representa las sucesivas potencias de 11 de exponente natural (solo para las primeras 5 filas).

DIAGONALES

La primera diagonal es, claro, sólo "unos", y la siguiente son todos los números consecutivos (1,2,3,etc.)

La tercera diagonal son los números triangulares.

La cuarta son los números tetraédricos.

BINOMIO DE NEWTON

Se conoce como teorema del binomio de Newton a la fórmula que nos proporciona el resultado de la potencia de una suma, (a+b) ^k, aunque a medida que aumenta k la expresión se complica ya que el número de sumandos depende del exponente. Por esta razón, sólo veremos el cuadrado y el cubo de la suma, haciendo hincapié en el cuadrado.

La formula que se usa para el la suma es (cuando a y b son números): 

 Esta formula se utiliza en este ejemplo :

La demostración es muy sencilla, sólo hay que realizar el producto de forma normal:

Datos curiosos

Todos sabemos que este triangulo se llama así debido a su creador,pero también se dice que el verdadero inventor del triangulo fue un matemático Zhou Jijie y se encontraban su libro “Espejos preciosos de los cuatro elementos” dedicado a las ecuaciones simultáneas y a las ecuaciones elevadas a potencias tan altas como la decimocuarta;no sabemos porque no se le puse el nombre del matemático chino pero aquí te dejo unas hojas en donde se encuentra la información.

Apoyo visual

Te dejo unos vídeos para que puedas entender mejor el tema.

Espero que te haya servido la información,nos vemos hasta el próximo post.

:)

Operaciones con polinomios

 Operaciones con polinomios

Es una expresión matemática constituida por un conjunto finito de variables (no determinadas o desconocidas) y constantes (números fijos llamados coeficientes), utilizando únicamente las operaciones aritméticas de suma, resta y multiplicación, así como también exponentes enteros positivos.

    Contienen:

	Constantes (como 3,-20, o ½)
	Variables (como x e y)
	Exponente (como el 2 en y2) pero sólo pueden ser 0, 1, 2, 3, ...etc.

También con las operaciones básicas se pueden resolver los polinomios:

·          

      SUMA DE POLINOMIOS

La suma algebraica consiste en reunir dos o más expresiones algebraicas en una sola.

Para sumar dos o más polinomios se ordenan de manera descendente y se acomoda cada polinomio de manera que cada término sea semejante, uno debajo del otro.

Ejemplo 0: Consideremos los polinomios

P(x)= 3x5 + 2x3 - 5x2 + 6 y Q(x) = 8x3 + 3x2 - x - 4

El polinomio resultante de la suma P(x) + Q(x)= 3x5 + 10x3 - 2x2 - x + 2

Fíjate, aquellos monomios cuya parte literal aparece en un polinomio los hemos copiado y hemos sumado aquellos monomios que tenían la misma parte literal:

2x3 + 8x3 = 10x3

-5x2 + 3x2 = -2x3

6 - 4 = 2

Ejercicio 1: 
Escribe el polinomio en orden descendente.

x + 6x² -1 + 5x³

Tu solución:

5x³ + 6x² + x - 1 

Ejercicio 2: 
Escribe el siguiente polinomio en orden descendente.
3x² - 5 + 4x³ - 2x

Solución:
4x³ + 3x² -2x -5 

Ejercicio 3:
 Sumar 8b-4c+2 con -3a+4b-c+1

8b-4c+2

-3a +4b - c+1

-3a+12b -5c+3

·    RESTA  DE POLINOMIOS

Para restar dos polinomios se escribe el minuendo y después el sustraendo, cambiándole los signos a cada uno de sus términos. Posteriormente se reducen los términos semejantes.

Para poder sumar o restar es necesario contar con términos semejantes (aquellos con la misma parte literal y exponente)

Ejercicio 0:
2x³ + 5x − 3) − (2x³ − 3x² + 4x)

P(x) − Q(x) = 2x³ + 5x − 3 − 2x³ + 3x² − 4x

P(x) − Q(x) = 2x³ − 2x³ + 3x² + 5x − 4x − 3

P(x) − Q(x) = 3x² + x − 3

Ejemplo 1:

Simplifica (6y² - 3y - 1) - (7y² - y) = Usar formato vertical.

Solución:       

Trata de hacerla con los pasos de arriba ;)

 

·          MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS

Realizaremos una multiplicación normal pero con polinomios. Para multiplicar polinomios se multiplica cada término de un polinomio por cada uno de los términos del otro polinomio y luego se simplifican los monomios semejantes.

Se utilizan:

·         Ley de signos.

·         Los coeficientes se multiplican.

·         La ley de los exponentes para la misma base

Ejemplo 1:

Simplifica:  ( 5x + 4) (-2x)

Solución:

(5x + 4) (-2x) = -10x² - 8x 

Ejemplo 2:

Simplifica:   x³ ( 2x² - 3x + 2)

Solución:

x³ ( 2x² + -3x + 2) =  2x⁵ - 3x

               4b⁴        -2b² + 2b
                4b⁴ + 6b³ - 2b² - b + 3

DIVISIÓN DE POLINOMIOS

En este tipo de división se procede de manera similar a la división aritmética los pasos a seguir son los siguientes.

• Se ordenan los polinomios con respecto a una misma letra y en el mismo sentido (en orden ascendente u orden descendente), si el polinomio no es completo se dejan los espacios de los términos que faltan.

• El primer termino del cociente se obtiene dividiendo el primer termino del dividendo entre el primer miembro del divisor.

• Se multiplica el primer término del cociente por todos los términos del divisor, se coloca este producto debajo de él dividendo y se resta del dividendo.

• El segundo termino del cociente se obtiene dividiendo el primer termino del dividendo parcial o resto (resultado del paso anterior), entre el primer termino del divisor.

• Se multiplica el segundo término del cociente por todos los términos del divisor, se coloca este producto debajo de él dividendo parcial y se resta del dividendo parcial.

• Se continua de esta manera hasta que el resto sea cero o un dividendo parcial cuyo primer termino no pueda ser dividido por el primer termino del divisor.

Cuando esto ocurre el resto será el residuo de la división.

La intención con este método de división es que con cada resta se debe eliminar el termino que se encuentra mas a la izquierda en el dividendo o dividendo parcial.

Ejemplos:

Para poder entender más fácil el tema, veamos un vídeo:

Espero que les hay servido mucho esta información, nos vemos la próxima.

;)

Teorema fundamental de la aritmetica

 aritmética

¿Conoces qué es la aritmética?

Para poder entender mejor el tema debemos empezar desde el principio,la aritmética es el área de las matemáticas que se centra en los números y en las operaciones que se realizan con los signos.

Su historia se remonta a la Antigua Grecia ya que empezaba a crecer un régimen muy estricto hacia las matemáticas,esto llevo a que se buscaran nuevas técnicas lo que dio resultado a las operaciones básicas que son:suma,resta,multiplicación y división.

También dentro de la aritmética encontramos operaciones con letras junto con números para completar las operaciones,sin embargo no nada mas este tipo de operaciones encontramos en la aritmética sino también el calculo de potencias y raíces.

Nosotros conocemos la calculadora (nuestra salvación para las operaciones) pero antes se utilizaba el ábaco,este instrumento era muy tedioso porque teníamos que ir bolita por bolita para completar una cifra y después realizar la operación que se estaba pidiendo.

Estos son los tipos de operaciones aritmética:

• SUMA:Es una operación básica que se representa con el signo (+),esta operación debe tener de 2 o mas dígitos para poder realizarse .

• Resta:También conocida como sustracción,se trata de dar 2 dígitos o mas para después eliminarlos entre si;se representa con el signo (-).
• Multiplicación:Es una de las 4 operaciones básicas,consiste en sumar varias veces un numero dependiendo cuanto indica el otro numero;se representa con el signo (x).
  
• División:Consiste en averiguar cuantas veces un numero (divisor) se encuentra en otro numero (dividendo) y el resultado de la división se le da el nombre de cociente.

En este vídeo podrán entender mas fáciles las operaciones básicas:

Teorema fundamental de la aritmética

Este teorema nos dice que cualquier numero entero puede descomponerse y convertirse en un numero compuesto por números primos,lo que significa que al factorizar un numero primo de cada numero entero y a la inversa siempre nos dará un resultado en números naturales.

Para poder demostrar que si se puede llevar a cabo este Teorema,debemos seguir estos 2 pasos:

1. Se debe saber si los números naturales que verifiquemos se puedan escribir en números primos.
2. Se debe de demostrar que la composición que se escriba no se repita (que sea única).

Método de introducción

Este método se utiliza para los primeros 9 números naturales,ya que con este es mas fácil encontrar los números primos.

Ejemplos:

4 = 2 x 2 => El dos es un número primo, entonces ya encontramos la forma. 

9 = 3 x 3 => El tres es primo, entonces ya encontramos la forma. 

Ahora como solucionaríamos una cifra grande:

El número 7882875. ¿Y ahora? 

Teniendo los conceptos de divisibilidad a mano, vamos dividiendo. Como el número 7882875 termina en 5, entonces es divisible por 5. Hacemos la división, y nos queda: 

7882875/5 = 1576575 

Para entender mejor observemos:

Bibliografia:

• http://aprendimate-com.webnode.es/aritmetica/operaciones-basicas-del-aritmetica/
• http://monografias.interbusca.com/matematicas/teorema-fundamental-aritm%E9tica.html
• http://www.taringa.net/comunidades/profedemate2001/1084284/El-Teorema-Fundamental-de-la-Aritmetica.html
• http://definicion.de/aritmetica/